$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =|\overrightarrow{a} |\overrightarrow{b}|\text{cos}~\theta=x_1x_2+y_1y_2(\overrightarrow{a} (x_1,y_1),\overrightarrow{b}(x_2,y_2) )$

$|\overrightarrow{a} |\overrightarrow{b}|\text{cos}~\theta$为几何解释,即为一向量投影到另一向量后投影的长度,几何意义为$x_1x_2+y_1y_2$。

事实上,点积的定义即为$\sum_{i=1}^n a_ib_i$,$n$表示维数。

几何解释仅存在于$n\le 3 $。

由余弦公式(不需用向量证明)可知$c^2=a^2+b^2-2ab\text{cos}\theta$

套入$c^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2,a^2={x_1}^2+{y_1}^2,b^2={x_2}^2+{y_2}^2$,可得

$cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}}$

因此几何解释与几何定义是相通的。

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这道题引入一个辅助角$\alpha$,间接求得$OA^2+OB^2$,之后直接余弦定理就好了。