首先声明一下,我已经吐了
导数初步学习
函数极限
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$,无关于$f(x_0)$。
如果函数是发散的,没有极限。
去心领域:$U^0(x,\delta)=\{v|x-\delta<v<x+\delta\}$
性质:
- 唯一性,对于$x_0$,同一个函数仅存在一个关于$x_0$的极限,即$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=B,A=B$$。
- 局部有界性,若一个函数存在关于$x_0$的极限,则存在去心领域$U^0(x_0,\delta),M>0$,使得$\forall x\in U^0(x,\delta),|f(x)|\le M$。
- 保号性,这个很好理解,存在$\forall x\in U^0(x_0,\delta),\text{sgn} f(x)=\text{sgn}f(x_0)$。
四则运算:
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)+\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)$
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)*\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)$
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)}(g(x)\ne 0)$
成立条件要符合数列极限。
推论:
- 由定理三可知,若$\forall x\in U^0(x_0,\delta),f(x)\ge 0(\le 0)$,则$f(x_0)\ge 0(\le 0)$。
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}C f(x)=C \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$,$C$为常数。
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}(f(x))^n=(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x))^n$。
上面这些都不太重要,记住就行了,$x_0$可以置换成$+\infty,-\infty,\infty,0,\cdots$。
定理:
- $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=A$的充分必要条件为$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=A$。
- $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$的充分必要条件为$\lim\limits_{x\rightarrow {x_0}^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow - {x_0}^-}f(x)=A$。
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0,\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=A$,则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=A$。
夹逼定理:
对于$U^0(x_0,\delta)$,$f(x),g(x),h(x)$均有定义且有极限,且满足:
- $\forall x\in U^0(x_0,\delta),g(x)\le f(x)\le h(x)$
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=A$
则$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$
运用夹逼定理,可以证明一个重要极限:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{sin} ~x}{x}=1$
大致做法就是做一个单位圆,然后比较面积,得到一个不等式之后就可以证明了。
可以说明:$x\rightarrow 0,\text{sin }x\rightarrow x$
另外一个重要极限:
$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
其另外表现形式:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e $
连续函数
在$x_0$处连续的三要素:
- 在$x_0$的领域有确切定义。
- 有关于$ x_0$的极限。
- $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A=f(x_0)$。
若函数在其定义域内每一点连续,则称这个函数为连续函数。
这个其实只要记住初等函数在其定义区间内连续即可。
导数
导数其实可以理解为一个(在某点)变化率的最佳近似$\frac{\Delta y}{\Delta x}$。
即$f~'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
一些常见函数的导数:
- $C'=0$,$C$为常数。
- $(x^n)'=nx^{n-1}$,$n$为自然数,证明用二项式展开易得。
- $\text{sin}' ~x=\text{cos} x$,证明:$\text{sin}(x+\Delta x)-\text{sin} ~x=2\text{cos}(\frac{2x+\Delta x}{2})\text{sin}\frac{\Delta x}{2}=2*\text{cos}~x*\frac{\Delta x}{2}=\Delta x \text{cos}~x$,除以$\Delta x$得证。其中用了重要极限:$x\rightarrow 0,\text{sin }x\rightarrow x$。
- $\text{cos}'~x=-\text{sin} ~x$。
运算法则:
- $[f(x)+g(x)]'=f~'(x)+g~'(x)$
- $[f(x)g(x)]'=f~'(x)g(x)+f(x)g~'(x)$
- $ [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f~'(x)g(x)-f(x)g~'(x)}{{g(x)}^2}(g(x)\ne 0)$
- 链式法则
链式法则证明:(来自同济大学高等数学教材)
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