有限微积分

其实就是针对离散数学的一个东西...

就是个差分。

形如$\int_{0}^af(x)\,dx=F(a)-F(0)$,其中$F'(x)=f(x)$的积分应该是不陌生的。

这些都是无限微积分,那么有没有有限微积分呢?

有的,也就是形如
$g(x)=\Delta f(x)=f(x+1)-f(x),\sum\limits_{x=0}^n g(x)=\sum\limits_{x=0}^{n+1}g(x)\delta x=f(n+1)-f(0)$

下阶乘就是一个很经典的例子。

有限微积分有许多优美的运算性质:

  1. $E(f(x))=f(x+1),E$为移位算子。
  2. $\begin{aligned}\Delta(uv)&=u(x+1)v(x+1)-u(x)v(x)\\&=u(x+1)v(x+1)-u(x)v(x+1)+u(x)v(x+1)-u(x)v(x)\\&=v(x+1)(u(x+1)-u(x))+u(x)(v(x+1)-v(x))\\&=u\Delta v+Ev\Delta u。\end{aligned}$
  3. 由2可知,$u\Delta v=\Delta(uv)-Ev\Delta u$,则$\sum u\Delta v=uv-\sum Ev\Delta u$。