Cayley - Hamilton 定理证明

我是阿巴阿巴阿巴阿巴。。。。


前置知识: 线性代数入门,如果已经相当熟练了,可以只看特征值相关部分。

还记得余子式 $A_{i,j}$ 和伴随矩阵 $\text{adj } A$ 吗?

现在给你一个命题:

已知标量 $\lambda$ ,有关于大小为 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征多项式

$$f(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)$$

现在考虑构造一个系数等于 $f(\lambda)$ 的矩阵多项式 $\varphi(A)$ ,使得 $\varphi(A)=0$

令 $B=A-\lambda I$,则有

$$\text{adj }B=\begin{bmatrix}B_{1,1}&B_{1,2}&\cdots&B_{1,n}\\B_{1,2}&B_{2,2}&\cdots &B_{2,n}\\\vdots\\B_{n,1}&B_{n,2}&\cdots &B_{n,n}\end{bmatrix}$$

可以发现 $B_{i,j}$ 是一个关于 $\lambda$ 的最高为 $n-1$ 次多项式,

那么只需要统计每一个位置 $\lambda^i$ 的系数,我们就可以把 $\text{adj } B$ 改写为

$\text{adj } B=C_0+C_1\lambda+C_2\lambda^2+\cdots+C_{n-1}\lambda^{n-1}$

一个系数为 $C_i$ 的 $n\times n$ 的矩阵。

由于 $B(\text{adj }B)=\det(B)I$,即

$$\begin{aligned}(A-\lambda I)(\text{adj }B)=\det(A-\lambda I)I\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}(A-\lambda I)(C_0+C_1\lambda+C_2\lambda^2+\cdots+C_{n-1}\lambda^{n-1})=f(\lambda)I\end{aligned}$$

把 $f(\lambda)I$ 展开成

$$(a_0+a_1\lambda+a_2\lambda^2+a_3\lambda^3+\cdots+a_n\lambda^{n})I $$

观察 $\lambda^i$ 系数

$$\begin{matrix}AC_{0}=a_0I\\AC_1-C_0=a_1I\\AC_2-C_1=a_2I\\\vdots\\ AC_{n-1}-C_{n-2}=a_{n-1}I\\-C_{n-1}=a_n I\end{matrix}$$

然后第二项同乘 $A$ ,第三项同乘 $A^2$ ,像这样可得

$$\begin{matrix}AC_{0}=a_0I\\A^2C_1-AC_0=a_1A\\A^3C_2-A^2C_1=a_2A^2\\\vdots\\ A^{n}C_{n-1}-A^{n-1}C_{n-2}=a_{n-1}A^{n-1}\\-A^{n}C_{n-1}=a_n A^{n}\end{matrix}$$

之后发现左边系数相加得 $0$ 意味着

$$\varphi(A)=a_0I+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_nA^{n}=0$$

然后发现 $f(A)=\varphi(A)$

于是有了广义上的 $f(A)=0$